数学纪闻录 第6章 逻辑之宇宙

235. 为避免在每个案例中都需将思维回溯至遥远的初始原理，心灵应自备若干中间阶段——即中间原理，用以检验所遇命题。这些虽非自明原理，但若通过严谨无误的演绎从初始原理得出，便可作为确凿真理，以比普遍公理更直接的方式证明依赖它们的其他命题......数学家正是如此行事，他们不会在每个新问题中都通过所有中间命题回溯至第一公理。那些通过可靠论证确立的定理，可用来解决众多相关命题，其确凿性犹如重新遍历连接第一公理的整个链条。——洛克《理解力指导》第21节

欲免每遇一事，皆溯思维于渺远本原之繁，心当预立若干阶次，谓之“中间原理”，以验所逢命题。此虽非不证自明之理，然若由本原精严推演而得，则可奉为确论。其证他理也，较之公理更为径直……数学家之法即如此，非于每一新题皆历诸阶而溯首公理。凡经确证之定理，皆可解同类众题，其信然之态，宛若重循自公理至结论之全链也。——洛克《导悟》节廿一

236. 那些用以显示其他两者一致性的中介观念称为证明；当一致性或非一致性由此清晰呈现时，便称为论证——因其向理解力展示，使心灵明见其然。迅速发现这些（能揭示其他观念关系的）中介观念并正确运用的能力，我想就是所谓的洞察力。——洛克《人类理解论》第六卷第二、三章

凡能彰二念相合之理者，谓之“证明”；若其相合与否昭然若揭，则谓之“论证”。盖以此明示于智，令心豁然得悟也。夫能敏察此类中介之念，以明诸念之关联，并善加施用者，吾以为即“洞察力”也。——洛克《人类理解论》第六卷第二、三章

237. 数学的思辨命题并不涉及事实；……这门科学中的任何论证所能使我们确信的，只是某些假设与结论之间存在必然联系。当这些假设在特定实例中实际成立时，论证就迫使我们应用其结论。因此，若我能构造一个三边皆为精确数学直线的三角形，便可断言这个特定图形的三角之和等于两直角；但由于感官的缺陷，我永远无法确定我所绘制的图形与几何学原理中定义完全吻合，故绝不能自信地将数学定理应用于具体图形。另一方面，日常感官经验表明，几何学的思辨真理可以相当精确地应用于物质对象，足以满足生活需求；而这些应用已为社会带来极其重要的益处。——斯图尔特《人类心灵哲学原理》第3部第1章第3节

数学之思辨命题，不涉实事；此学之论证，唯证诸设与结论间必有联系。若诸设于实例中得验，则论证必推其果。譬如构三角之形，三边皆准于数学直线之定义，可断此形三角之和等于两直角。然以感官有阙，所绘之形终难全合几何之定义，故不敢遽以数学定理施于具体之形。然观诸日常，感官所察，几何之理施于万物，虽非尽善，亦足应世务之需。其于日用之实、家国之益，功莫大焉。——斯图尔特《人类心灵哲学原理》第三部第一章第三节

238. 任何合理的推理过程都无法得出前提中不包含的结果。——梅勒《化学与物理学生用高等数学》（纽约1902），第2页

凡推理之合乎道者，其所得之果，必不出前提所涵。——梅勒《化学与物理学生用高等数学》（纽约，1902），第二页

239. ……我们无法从数学磨坊中获取比投入更多的东西，尽管我们可能以对目标无限有用的形式获取它。——霍普金森《詹姆斯·福雷斯特讲座》，1894

……数学之术，犹磨坊然，所出之物，终不能逾其所入。然其形制之变，或于所求大有裨益也。——霍普金森《詹姆斯·福雷斯特讲座》，一**四年

240. 自觉逻辑推理的铁律要求极大的毅力与谨慎；它进展缓慢，极少被天才的灵光所照亮。它几乎不了解语言学家或历史学家记忆中纷至沓来的各种事例所展现的那种敏捷。数学推理方法性进展的基本条件是：心智必须持续专注于单一要点，既不受旁支思想的干扰，也不为愿望与希望所动，沿着审慎选择的方向稳步前进。——亥姆霍兹《自然科学与整体科学的关系》《演讲集》第一卷（1896），第178页

夫自觉逻辑之推理，其律森严，非具坚忍之志、审慎之心者不可为也。其进也缓，罕蒙天才灵光之照。不若语言、史学之学，事例纷陈，可资迅捷参证。数学推理，欲得有序而进，必有其要：心当专守一境，不为旁念所扰，不因欲念而动，循既定之途，笃行不辍，乃克有成。

——亥姆霍兹《自然科学与整体科学之关系》，载《演讲集》第一卷（1896），第一百七十八页

241. 若总是必须将一切还原为直观知识，论证往往会冗长得令人难以忍受。因此数学家们机智地分解难点，分别证明中间命题。这其中也有艺术：由于中介真理（称为引理，看似题外话）可有多种设定方式，为辅助理解与记忆，最好选择那些能极大缩短过程、本身值得记住并值得证明的命题。但还有另一障碍：并非所有公理都易于证明，也难以将论证完全还原为直观知识。若我们执意等待这种还原，或许至今仍不会有几何学。——莱布尼茨《人类理智新论》第四卷第二、八章

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