数学纪闻录 第5章 演绎为宗

221. 算术或代数运算的每一步骤都包含着真正的归纳——从事实到事实的真实推理，而掩盖这种归纳本质的，正是其包罗万象的特性以及由此产生的极端普遍性语言。——密尔《逻辑体系》卷二第六章第二节

算术、代数之演算，每一步皆含真归纳之道——由实事而推实事，循理而致思。然其所以掩此归纳之质者，盖因其涵盖宏广，述语至普，能统摄万类，故其推理之真髓，隐于赅博之辞、通贯之语也。——密尔《名理统系》卷二第六章第二节

222. 所有演绎与论证科学无一例外都是归纳科学：它们的证据来自经验，但由于其归纳所依据的通用公式中某个必要部分的特殊性质，它们又都是假设性科学。其结论仅在特定假设下成立，这些假设接近（或理应接近）真理，却极少（甚至从未）完全精确；而正是这种假设性特征，造就了论证科学被认为特有的确定性。——密尔《逻辑体系》卷二第六章第一节

凡演绎实证之学，皆归纳之学也。其证皆本于阅历，然因所用公式中某必要部分之特性，亦皆为假设之学。其结论惟于特定假设乃确信，此假设近真而未尝全合，正以此假设之性，成其特具之确然。——密尔《名理统系》卷二第六章第一节

223. 数学真理的独特之处在于其必然为真；我们研习数学获得的重要启示，正是认知此类真理的存在，并熟谙其形式与特性。若教导学生否认这种差异，声称数学真理本身也来自经验，则不仅丧失此教益，更会适得其反。——休厄尔《数学研究随想·英国大学教育原则》（伦敦1838）

数学之理，独异于他学，其真也，必然而不可易。吾人究心算术，所获至要者，乃悟此必然之理实存，且精晓其体式与特质也。若训蒙子弟，令其惑于数理之源，谬言此理亦出自经验，非但失却治学真谛，更恐误人子弟，适得其反矣。——休厄尔《研算卮言·英学制论》（伦敦1838）

224. 几何、理论算术与代数这些科学，除定义与公理外别无原则，除演绎外别无论证过程；然而这个过程呈现出无与伦比的特质，展现出其他学科无法企及的简繁结合、严谨与普遍性的统一。——休厄尔《归纳科学的哲学》第一部卷二第一章第二节（伦敦1858）

夫几何之学，暨理论算术、代数诸科，其立说之基，不过定义、公理而已；其推证之法，唯恃演绎为宗。然其推演之途，独彰奇质，简而能赅，繁而有序，谨严之态与周普之性，融贯如一，迥非他学可及也。——休厄尔《格致哲学》首部卷二第一章第二节（伦敦1858）

225. 数学思维的确凿性及其结论的必然正确，并非源于特殊的推理方式，而在于其所处理概念的特性。此特性为何？答曰：定义的精确性、明晰性与完备性。数学家何以获得这种完备性？并无玄妙伎俩——某些观念本就可臻此精确，余者则否；数学家无非专攻前者而已。——凯泽《宇宙及其外》《希伯特期刊》第三卷（1904-1905）第309页

夫数学思维之确凿，其结论之必然，非因推理之术独异，实缘所治概念之殊也。然则此殊性安在？盖定义之精审、朗彻与完备也。或问：数学家何以致此完备之境？初无幽渺之术——盖世间观念，有本可至精，有终难尽善，数学家不过专研前类耳。——凯泽《宇外论》《希伯特期刊》卷三（1904-1905）页三〇九

226. 数学家的推理建立在确定无误的原则上。每个术语都传达明确概念，通过精确定义在读者心中唤起与作者相同的意象。确定所用术语的定义后，他们提出若干公理或不言自明的原则——这些命题一经提出必获认同。继而设定无人能否认的公设（如过任意两点可作直线），从这些简明原则出发，他们构建起最惊人的理论，证明人类心智的广袤远超其他学科。——亚当斯《日记》《着作集》（波士顿1850）第二卷第21页

夫数学家之推衍，皆立基于确凿不移之准则。其所用术语，咸表明晰之概念，借精审之定义，使读者心目所现，与作者毫无二致。既定术语之义，乃陈公理数则，此皆不待辨说而自明，闻者莫不应然。复立公设，若“两点可连一直线”，确凿无疑，人莫能驳。自此简明之基，构筑宏论奇说，惊世骇俗，足证人心智之浩瀚，迥出他学之上也。——亚当斯《日录》《文集》（波士顿1850）卷二页廿一

227.

可以观察到，数学家只专注于确定无疑之事，而对存疑或未知之物避而不谈。他们并不宣称通晓万物，亦不妄论一切。唯有那些确认为真、并能以无可辩驳的论证验证的命题，才会被作为定理公开发表。对于其余事物，他们保持沉默、不作评判，宁可承认无知，也不轻率断言。在其论证或主张中，他们绝不纳入任何未经最严密检验且显而易见的内容，摒弃一切或然猜测与机巧诡辩。他们不屈服于权威，不纵容私好，憎恶文字游戏，并如同在法庭上一般不带激情、无需辩解地陈述观点——因为正如塞内卡所言，他们的理性不是为了说服，而是为了征服。——艾萨克·巴罗

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