数学纪闻录 第7章 炼人心智

247. [数学中运用的]推理过程与其他知识领域并无不同……但需要高度集中注意力——这种专注力对所有知识获取都部分必要，而对数学则绝对必要。必须全神贯注；……数学思维的其他特质还包括：迅速觉察逻辑关联、热爱秩序、条理与和谐，以及概念的清晰性。——普莱斯《无穷小演算论》（牛津1868）第三卷第6页

数学之推理，与他学之推求本无殊异……然其要在凝神聚志。专注之力，于诸学求知皆不可或缺，而于数学尤为至要，非全神贯注不可为也。且数学思维别有其质：能敏察逻辑之脉络，笃好秩序、条理与和谐之美，务求概念明晰透彻。

——普莱斯《无穷小演算论》（牛津，1868）第三卷，第六页

248. 读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，自然哲学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞使人善辩。——培根《论读书》

观史者，明睿通达；咏诗者，灵韵秀逸；究数术者，缜密精详；格自然之理者，闳深致远；修伦理之道者，端方持重；习辩术之学者，口若悬河。——培根《论学》

249. 数学家仅处理对象的两种属性——数与广延，所需的所有归纳法早在千百年前就已形成完善。如今他只专注于演绎与验证。——赫胥黎《自然科学的教育价值》《世俗说教、演讲与评论》（纽约1872）第87页

数学家之所治，唯对象之二性：数与广延而已。其所需归纳之法，早在累世之前，已然完备。今之学者，但专心于推绎证验之事耳。

——赫胥黎《自然科学之教育价值》，载《世俗说教、演讲与评论》（纽约，1872），第八十七页

250. [数学]这门学科与观察、实验、归纳、因果都毫无瓜葛。——赫胥黎《实证主义的科学面向》《双周评论》（1898）；《世俗说教、演讲与评论》（纽约1872）第169页

数学之学，于观物、察验、推类、溯因诸事，皆无涉焉。

——赫胥黎《实证主义之科学面向》，载《双周评论》（1898）；《世俗说教、演讲与评论》（纽约，1872），第一百六十九页

251. 有人说数学是门不涉及观察、实验、归纳与因果的学科。我认为没有比这更违背事实的论断：数学分析不断求助于无法用言语精确定义的新原理、新观念与新方法，它们直接源自人类心智的固有力量与活动，源自对思想内在世界的持续反省（我认为个人内在世界与外在物理世界的关系，犹如影子与投影物的关系，或如空握的手掌与紧握的拳头）；数学不断唤起观察与比较的能力，以归纳为主要武器，频繁借助实验验证，为想象力与创造力的最高发挥提供无限空间。——西尔维斯特《英国科学促进协会主席致辞》《埃克塞特会议报告》（1869）第1-9页；《数学论文集》第二卷第654页

或谓：“数学者，不涉观物、察验、推类、溯因之学也。”然吾以为，此论大谬不然。数学分析之进，常赖新理、新说、新法，其义难以言诠。盖此皆源于人心固有之能、思维运化之功，亦出于对内心世界之省察。（窃以为，人心内象与外物之关联，犹影之于形，拳之张弛也。）数学之研，恒启人观物比类之智，以归纳为利器，借验试以证理，更使想象、创造纵横驰骋，无有涯涘。

——西尔维斯特《英国科学促进协会主席致辞》，载《埃克塞特会议报告》（1869），第一至九页；《数学论文集》第二卷，第六百五十四页

252. 数学理论的实际发展过程所运用的归纳法，与构建物理科学所用的归纳法严格类似：观察、比较、分类、尝试与概括在两者中同样关键。不仅各自独立获得的特殊结果常被纳入更普遍的概括，原本独立发展的数学分支也常因内在关联而能综合成统一体系。数学思维的本质，正体现于在表面迥异的领域中洞察数学层面的根本同一性。麦克马洪少校的杰出发现为此提供了绝佳例证：所有拉丁方阵的枚举问题，通过特定微分算子理论即可简单解决。这个案例中，原本看似无法直接处理的枚举问题，当认识到其本质运算与微分算子运算的同一性后（尽管表面看来微分计算与拉丁方阵属于完全不同的思想领域），便能迎刃而解。——霍布森《英国科学促进协会主席致辞》（1910）；《自然》第84卷第290页

数学理论之演进，所用归纳之法，与物理科学所构者酷似：观物、比类、辨章、试求、总括诸事，于二者皆为枢要。非但殊途所得之果，常汇于更宏阔之论；即数学诸分支，虽本自独立，亦每因内在之契，熔铸为一统之系。数学思维之精要，在于洞察异境殊域中，数学本原之同一。麦克马洪少校之卓见，可为明证：昔者拉丁方阵之计数难题，至为繁赜，然借微分算子之理，竟能简易解之。盖此计数之算，与微分算子之运，虽貌若悬隔，然究其本质，实出同源。一旦悟其理之相通，昔日棘手之题，倏然冰释。

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