墨中有白 第122章 苏松复习遇到难题

清晨，教室里已经坐了不少埋头复习的同学。窗外的梧桐树在微风中轻轻摇曳，阳光透过叶片的缝隙，在课桌上投下细碎的光斑。苏松坐在靠窗的位置，面前摊着一本数学练习册，眉头却紧紧皱着，手里的笔悬在草稿纸上，迟迟没有落下。练习册上的函数综合题像是一道无法跨越的鸿沟，题干里的 “不等式约束”“实际应用场景” 等关键词，让他原本清晰的思路瞬间变得混乱。

“你最近在数学上有何困扰？” 一个温柔的声音在耳边响起，白墨端着一杯温热的豆浆，轻轻走到苏松身边，目光落在他面前的练习册上。她注意到苏松已经对着这道题看了快十分钟，手指无意识地摩挲着笔杆，显然是遇到了瓶颈。

苏松抬起头，眼神里带着一丝沮丧，像是找到了宣泄的出口：“函数部分总是让我头疼，尤其是结合不等式和实际应用的题型。你看这道题，说是某工厂生产两种产品，需要根据原料和工时约束求最大利润，既要建立函数模型，又要考虑不等式组的定义域，最后还要用导数求最值，我总是在步骤之间衔接不上，要么漏掉定义域的限制，要么求导后不知道怎么结合实际意义判断极值是否合理。”

白墨在苏松身边的空位坐下，将豆浆递给他，然后从自己的书包里拿出一份装订整齐的错题集。错题集的封面用标签纸写着 “数学函数综合题分类整理”，翻开后，每一页都按 “基础题型”“提升题型”“综合题型” 清晰分类，每道题旁边都用不同颜色的笔标注了错误原因、解题思路和知识点链接。“你看，这些题目是我之前整理的，和你现在遇到的问题很像。” 她指着 “综合题型” 部分，“基础题是函数的基本性质和图像变换，比如求定义域、值域、单调性，这部分你已经掌握得不错了；提升题则是将函数与不等式结合，比如用函数单调性解不等式、求参数范围，这需要你熟练掌握函数和不等式的联系；而综合题则像你现在做的这道，需要结合实际应用，先建立数学模型，再用函数知识解决，这类题的关键是‘先理解题意，再拆解步骤’，不能急于求成。”

苏松接过错题集，仔细翻看着。白墨的字迹工整清晰，每道题的错误原因都分析得十分透彻。比如一道类似的利润最大化问题，她在旁边标注：“易错点：忽略原料和工时的实际限制，导致定义域范围扩大；解题关键：先根据题干列出所有约束条件，画出可行域，再结合函数单调性或导数求最值，最后验证结果是否符合实际意义。” 这些标注像是一把钥匙，瞬间打开了苏松的思路。

“原来如此！我总是把基础题搞懂还不够，更深层次的应用还需要多加练习，尤其是步骤拆解和实际意义的验证。” 苏松恍然大悟，指着错题集中的一道题，“你看这道题，和我现在做的几乎一样，你在解题步骤里特意把‘列约束条件→画可行域→建函数模型→求最值→验证实际意义’分了五步，每一步都写得很详细，我之前就是没有这样系统地拆解，才会在中间步骤出错。”

“其实这类题的本质是‘翻译’，把实际问题中的文字信息‘翻译’成数学语言。” 白墨拿起笔，在草稿纸上为苏松梳理思路，“比如‘原料约束’就是‘某两种原料的消耗量不超过库存量’，可以转化为不等式；‘最大利润’就是‘利润函数在可行域内的最大值’，需要结合函数的性质求解。你可以试着先不看答案，把这道题的题干信息逐条列出来，先列约束条件，再建立利润函数，我们一起看看哪里出了问题。”

苏松按照白墨的建议，拿起笔在草稿纸上逐条记录：“产品 A 每件消耗原料 1kg，工时 2 小时；产品 B 每件消耗原料 2kg，工时 1 小时；原料总量不超过 100kg，工时总量不超过 80 小时；产品 A 每件利润 30 元，产品 B 每件利润 20 元，求最大利润。” 他一边写，一边在心里默念，试图将文字转化为数学符号。

“很好，现在把这些信息转化为不等式。” 白墨在一旁引导，“设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，x 和 y 都是非负整数（因为产品数量不能为负，也不能是小数），那么原料约束就是 x 2y ≤ 100，工时约束就是 2x y ≤ 80，对吗？”

苏松点点头，在草稿纸上写下不等式组：“x ≥ 0，y ≥ 0，x 2y ≤ 100，2x y ≤ 80。然后利润函数是 L = 30x 20y，接下来就是求 L 的最大值。”

“那你现在想想，怎么求这个最大值？” 白墨没有直接给出答案，而是引导苏松自己思考。

苏松皱着眉，回忆着课堂上老师讲的方法：“可以用线性规划的方法，先画出可行域，找到顶点，再将顶点坐标代入利润函数，比较得出最大值。不过之前老师也说过，对于二元一次函数，最大值通常在可行域的顶点处取得。”

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