数学纪闻录 第86章 物理学公理的数学处理、 数的无理性与超越性、素数问题

关于“连续性”：目前来看，这一假设无疑需要保留——至少从几何与算术的应用角度出发是如此，因为在这些应用中，相关函数的连续性是“连续性公理”的推论。但另一方面，“定义群的函数具有可微性”这一假设，在几何公理中只能以“牵强且复杂”的方式表述。

因此，问题就产生了：能否通过引入合适的新变量与新参数，将任意群都转化为“定义函数可微”的群？或者至少在一些简单假设的帮助下，将群转化为“可应用李的方法”的群？

根据李提出（但由舒尔（Schur）首次证明）的一个定理[10][11]：当群满足“可迁性”，且假定“定义群的函数存在一阶及某些二阶导数”时，上述“转化为解析群”的过程总是可行的。

我认为，对于“无限群”，研究类似问题也具有重要意义。此外，这还会将我们引入“函数方程”这一广阔且有趣的领域——此前，人们研究函数方程时，通常都会假定涉及的函数具有可微性。

尤其是阿贝尔（Abel）曾巧妙处理过的函数方程[12]、差分方程，以及数学文献中出现的其他方程，它们本身并未直接要求“伴随函数必须可微”。我在变分法中寻找某些存在性证明时，就曾直接遇到这样的问题：如何由“差分方程的存在性”证明“所讨论函数的可微性”。

因此，在所有这些情况下，都会出现一个共同问题：在不假定“函数可微”的前提下，通过适当修正，原本针对“可微函数”得出的结论，能在多大程度上仍然成立？

还需补充的是，闵可夫斯基在其上述着作《数的几何》中，以函数方程

f(x_1 y_1, x_2 y_2, \dots, x_n y_n) \leq f(x_1, x_2, \dots, x_n) f(y_1, y_2, \dots, y_n)

为起点，实际上成功证明了“该函数存在某些微商（导数）”。

但另一方面，我想强调一个事实：确实存在“仅以非可微函数为解”的解析函数方程。例如，我们可以构造一个“一致连续但非可微的函数f(x)”，它是以下两个函数方程的唯一解：

f(x \alpha) - f(x) = g(x)

f(x \beta) - f(x) = h(x)

其中\alpha与\beta是两个实数，且对所有实数x，g(x)与h(x)都是“正则解析的一致函数”。

构造这类函数的最简单方法，是借助三角级数，采用与博雷尔（Borel）类似的步骤——皮卡（Picard）近期指出[13]，博雷尔曾用这种方法构造出“某解析偏微分方程的双周期非解析解”。

[10]李-恩格尔（Lie-Engel），《变换群理论》（Theorie der Transformationsgruppen），第3卷，莱比锡，1893年，第82、144节。

[11]《论表示有限连续变换群的函数的解析性质》（Ueber den analytischen Charakter der eine endliche Kontinuierliche Transformationsgruppen darstellenden Funktionen），《数学年刊》（Math. Annalen），第41卷。

[12]《全集》（Werke），第1卷，第1、61、389页。

[13]《数学分析中的若干基础理论》（Quelques théories fondamentales dans lanalyse mathématique），克拉克大学演讲（Conférences faites à Clark University），收录于《综合科学评论》（Revue générale des Sciences），1900年，第22页。

6. 物理学公理的数学处理

对几何学基础的研究，引发了这样一个问题：像处理几何学那样，借助公理来处理那些数学占据重要地位的物理学科；其中最主要的是概率论和力学。

关于概率论的公理[14]，在我看来，有必要在对其进行逻辑研究的同时，为数学物理（尤其是气体分子运动论）中的平均值方法，提供严格且完善的推导。

物理学家们已经开展了多项关于力学基础的重要研究；我在此提及马赫[15]、赫兹[16]、玻尔兹曼[17]和福尔克曼[18]的着作。

因此，非常有必要让数学家也参与到力学基础的探讨中来。

例如，玻尔兹曼关于力学原理的研究提出了一个问题：将他仅简要提及的、从原子论观点推导到连续体运动定律的极限过程，进行数学上的完整推导。

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