数学纪闻录 第19章 当凝神细思，以求通晓每句真意

第六章

数学的学习与研究

601. 阅读任何代数论着时，首要之事是透彻理解其中展示的各个演算步骤及其相互联系。仅靠泛读——无论多么专注——都无法达成这一目标。数学着作不可能将学生必须内化的每个过程都详尽展开。许多结果（例如充斥于论证中的加法、乘法、开平方等运算）的细节会被省略。学生不应轻信这些内容，而必须亲自用笔演算——进行任何数学推演时，手中的笔都不可停歇。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章

读代数着作时，首务在于彻悟书中所示诸般算法，及算法间之关联。然纵悉心研读，亦不可仅靠阅读达成此境。数学着作中，诸多推演步骤需学者自心补全，方算尽握其要——书中每略去加减、乘算、开方等运算细节，而此类推导又俯拾皆是。学者切不可轻信书中结果，必以己笔演算；凡研数学，手中之笔不可暂辍。

——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章

602. 学生不应放过任何锻炼数值计算能力的机会，尤其是运用对数表的实践。他将数学应用于实际问题的能力，直接取决于其运算的熟练程度。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章

学者当不失任何机会操练数值计算，尤重对数表之运用。其将数学应用于实际问题之能力，与计算熟练度成正比。

——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章

603. 初学者选择的练习题目应当简单，且避免包含极大数值。人的心智无法同时专注于两件事：若复杂的数字运算已耗尽全部注意力，便无暇观察所遵循法则的原理。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第3章

初学者选习题，宜从简易者始，勿用大数。盖人之脑力不可分心二用：若数字繁复至耗竭心神，则无暇体悟算法之原理。

——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第3章

604. 欧几里得与阿基米德被公认为智者，其论述皆经严谨证明。但若有人通读其着作时未能领悟证明的关联与结论的实质——即便理解全部字句——他依然一无所获。他或许会相信，却并不真正理解这些数学家的言说，因而其数学知识不会因阅读权威着作而有丝毫增进。——洛克，约翰《理解力指导》，第24节

世人皆谓欧几里得与阿基米德学识渊博，所言皆有论证。然若读其书而不解证明之脉络、不明推导之要旨，纵识其所有文字，亦未增学识。此乃信其言而非知其理，虽读名家经典，于数学之道实无进益。

——约翰·洛克《理解的指导》，第二十四节

605. 学生应以最持久的专注力研读着作，以把握每句话的含义。若书籍编写得当，这种精读必有所获：即便没有示例辅助，正文本身也应足够清晰。遗憾的是，读者常草率掠过正文，不作切实深入的理解，便急于通过例题来澄清本可通过细读正文消解的困惑。在我看来，严谨推敲文本的习惯有多重意义：对语言的缜密剖析，无论对学术研究还是现实生活都是极有价值的训练。在高等数学领域，这种习惯更不可或缺——冗长的论证中不可能处处插入示例，学者必须逐句攻克并掌握那些复杂而宏大的推理。——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第67页

学者读典籍，当凝神细思，以求通晓每句真意。若书为佳作，必经得住细究，且文义自明，纵无例题亦不难解。然世人常匆匆掠过正文，不肯悉心思索，动辄依赖例题释疑——实则若深思文本，本不应有晦涩之处。于我而言，审慎研读正文之习惯至关重要：推敲文句，于治学与处世皆为可贵操练。至高深数学领域，此习惯更是必需——复杂长推导中，断无处处插例题之理，学者唯逐句攻克冗长论证。

——艾萨克·托德亨特《数学自学论；学科冲突及其他论文》（伦敦，1873），第67页

606. 难免会遇到无法理解或理解不透彻的段落，此时当如何应对？在给予合理程度的专注后，学生不妨暂时跳过，将晦涩处留待日后解决……自学者的自然倾向往往不是过早放弃难题，而是在其上耗费过长时间。不愿承认挫败的骄傲与不甘受阻的倔强，会驱使人持续努力——即便成功似乎无望。唯有经验能让我们确信：当心智彻底疲惫时，既无力沿既定方向有效推进，也缺乏开拓新径的弹性；而暂时搁置后再度回归，反而可能达成目标。——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第68页

书中或有不解或难解之处，当如何处之？于某段文字凝神思索后，可暂置不顾，留待他日再究……我以为，自学者常犯之病，非过早跳过难点，而是滞留过久——不甘认输之傲、不愿受挫之毅，皆促人在无望时仍强行苦思。唯历经世事方知：心力耗尽时，既难沿旧路前行，亦难另辟新径；暂离所研，他日再返，或能得偿所愿。

这章没有结束，请点击下一页继续阅读！