三次方根：从一至八百万 第38章 lg（以10为底）与ln（以e为底）的相关人员

数学发展史中的关键人物与思想传承在数学的发展长河中，对数的发明是人类智慧的一座丰碑。其中，以10为底的常用对数（记作lg）和以自然常数e为底的自然对数（记作ln）不仅是数学分析、物理科学、工程计算等领域的核心工具，更承载着多位杰出数学家的思想结晶与历史传承。本文将系统梳理与lg和ln密切相关的数学家及其贡献，揭示这两个重要数学概念背后的人物群像与思想演进。

一、对数的诞生：约翰·纳皮尔（John Napier）——对数之父对数的发明归功于苏格兰数学家约翰·纳皮尔（1550–1617）。他在1614年出版的《奇妙的对数定律说明书》（mirifici Logarithmorum canonis descriptio）中首次提出了“对数”的概念。纳皮尔的初衷是简化天文计算中繁复的乘除运算，他通过将乘法转化为加法，极大提升了计算效率。纳皮尔最初定义的对数并非现代意义上的以e为底或以10为底的对数，而是一种基于运动学模型的“纳皮尔对数”。他设想两个点沿直线运动：一个点以恒定速度移动，另一个点的速度与其到终点的距离成正比。通过对这种运动关系的数学建模，他构建了对数表。尽管纳皮尔的原始对数与现代ln或lg在形式上有所不同，但其核心思想——将乘除运算转化为加减运算——为后续发展奠定了基础。尤为重要的是，他的工作启发了亨利·布里格斯（henry briggs），后者将对数系统改造为以10为底，从而催生了“常用对数”（lg）。

二、常用对数（lg）的奠基人：亨利·布里格斯（henry briggs）亨利·布里格斯（1561–1630）是英国牛津大学的几何学教授，也是纳皮尔思想的继承者与实践者。他认识到纳皮尔对数在实际计算中的局限性，尤其是底数不直观、计算不便等问题。因此，他提出采用以10为底的对数系统，即我们现在熟知的“常用对数”（lg）。布里格斯与纳皮尔会面后，两人共同探讨了对数的改进方案。纳皮尔去世后，布里格斯独立完成了以10为底的对数表的编制。他在1624年出版的《对数算术》（Arithmetica Logarithmica）中，给出了从1到20,000以及90,000到100,000的常用对数表，精确到14位小数。这一成果迅速被天文学家、航海家和工程师采纳，成为科学计算的重要工具。布里格斯的贡献不仅在于编制了实用的对数表，更在于他确立了“以10为底”的标准，使对数真正走入日常科学计算。lg的广泛应用，推动了17世纪科学革命的进程，也为后来的计算器和计算机发展埋下伏笔。

三、自然对数（ln）与自然常数e的渊源：雅各布·伯努利（Jacob bernoulli）自然对数ln的底数e（约等于2.）并非人为规定，而是从数学内在规律中自然涌现的常数。瑞士数学家雅各布·伯努利（1655–1705）在研究复利问题时首次触及e的本质。伯努利提出：若本金为1元，年利率为100%，若利息连续复利计算，即每瞬时都计息，那么一年后的本息和是多少？他发现，当复利周期无限缩短时，本息和趋近于一个极限值：

虽然伯努利未能完全确定该常数的性质，但他首次揭示了e的极限定义，为自然对数的诞生提供了关键线索。

四、欧拉与自然对数的系统化：莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）如果说纳皮尔是“对数之父”，布里格斯是“常用对数之父”，那么瑞士数学巨匠莱昂哈德·欧拉（1707–1783）则是“自然对数与e的系统化者”。欧拉在18世纪中叶将e确立为自然对数的底数，并首次使用符号“e”表示该常数（可能取自“exponential”一词的首字母）。欧拉在《无穷小分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum, 1748）中，系统地研究了指数函数与对数函数的关系。他定义了自然对数ln x为以e为底的对数函数，并推导出其幂级数展开：

这一公式将指数函数、三角函数与复数统一起来，深刻揭示了ln与e在数学结构中的核心地位。欧拉还证明了e是无理数，并计算出其近似值到多位小数。他将ln和e纳入微积分体系，使其成为分析学的基本工具。可以说，现代数学中ln的理论框架，正是由欧拉奠定的。

五、对数函数的分析拓展：皮埃尔-西蒙·拉普拉斯与约瑟夫·傅里叶进入18世纪末至19世纪，对数函数在物理与工程中的应用日益广泛。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（pierre-Simon Laplace）在天体力学研究中大量使用对数进行近似计算，他发展了“拉普拉斯变换”，其中自然对数与指数函数是核心组成部分。约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在热传导理论中引入傅里叶级数与傅里叶变换，其推导过程中频繁使用ln与e，进一步巩固了自然对数在数学物理方程中的地位。

六、现代计算中的lg与ln：计算科学的推动者20世纪以来，随着计算机科学的发展，lg与ln在算法分析、信息论、概率统计等领域发挥着关键作用。在算法复杂度分析中，时间因此在渐进分析中等价。