三次方根：从一至八百万 第18章 lg的名字与ln的名字

“lg”与“ln”：对数世界中的双子星——以10为底与以e为底的命名渊源与科学意义在数学的浩瀚星空中，对数（logarithm）犹如一颗璀璨的星辰，自17世纪初由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发明以来，便深刻地改变了人类计算世界的方式。而在对数家族中，有两个特别的名字尤为引人注目：lg 与 ln。它们分别代表以10为底的对数和以自然常数e为底的对数。这两个符号虽仅由两个字母构成，却承载着深厚的数学历史、科学逻辑与文化演变。本文将深入探讨“lg”与“ln”的命名由来、数学意义、应用领域以及它们在科学与工程中的独特地位，全面解析这对“对数双子星”的前世今生。

一、“lg”：以10为底的对数——十进制世界的语言“lg”是“logarithm base 10”的缩写，通常写作 lg(x) 或 log??(x)。在数学和工程领域，lg 表示以10为底的对数，即：若 10^y = x，则 y = lg(x)。命名来源与历史背景“lg”这一符号的形成，源于“logarithm”一词的缩写。其中，“l”取自“log”，“g”则可能源于“general”或“mon”，意指“常用对数”（mon logarithm）。

在17世纪，纳皮尔与亨利·布里格斯（henry briggs）合作改进了对数系统，布里格斯主张采用以10为底的对数，因其与十进制计数系统高度契合，便于实际计算。这种以10为底的对数因此被称为“常用对数”（mon logarithm），而“lg”便成为其简洁的符号表示。

值得注意的是，“lg”并非国际统一标准符号。在某些文献中，log(x) 默认表示以10为底的对数，尤其是在工程、物理学和中学数学教育中。但在高等数学和计算机科学中，log(x) 常表示自然对数（即ln(x)），这容易造成混淆。因此，“lg”作为一种明确指代以10为底的对数的符号，具有重要的区分意义。数学特性与计算优势以10为底的对数之所以“常用”，在于其与人类十进制计数系统的天然契合。

二、例如：lg(1) = 0，因为 10? = 1；lg(10) = 1，因为 101 = 10；lg(100) = 2，因为 102 = 100；lg(0.1) = -1，因为 10?1 = 0.1。这种直观的指数关系使得lg在数量级分析、科学计数法和数据缩放中极为实用。例如，ph值的定义为 ph = -lg[h?]，即氢离子浓度的负对数，这使得从10?1?到10?的广阔浓度范围被压缩到0到14的线性尺度上，极大方便了化学分析。

应用领域lg在多个领域中发挥着关键作用：工程学：在信号处理中，分贝（db）是衡量声音强度或信号增益的单位，其定义基于lg。例如，声强级 L = 10 x lg(I\/I?)，其中I为声强，I?为参考强度。地震学：里氏震级（Richter scale）使用lg来衡量地震能量，震级每增加1级，能量约增加31.6倍（即10^1.5倍）。

计算机科学：在算法复杂度分析中，虽然常用log?，但lg也用于描述某些分治算法的时间复杂度，如二分查找的o(lg n)。数据可视化：对数坐标图（log plot）常使用lg尺度，以展示跨越多个数量级的数据，如人口增长、经济指标等。

三、“ln”：以e为底的对数——自然增长的语言“ln”是“logarithmus naturalis”的缩写，源自拉丁语，意为“自然对数”。它表示以数学常数e（约等于2.）为底的对数，记作 ln(x) 。若 e^y = x，则 y = ln(x)。命名来源。与历史演变“ln”这一符号的出现，与自然对数，的历史发展密不可分。

尽管纳皮尔最早提出的对数，并非以e为底，但其工作为后来的数学家奠定了基础。17世纪末，瑞士数学家雅各布伯努利（Jacob bernoull）在研究复利问题时，首次发现了常数e的雏形。他发现，当利息连续复利时，极限值趋近于一个特定常数，即e。后来，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪系统地研究了这个常数，并将其命名为“e”（可能取自“exponential”或其姓氏首字母）。

欧拉还证明了自然对数与指数函数的深刻联系，确立了ln在微积分中的核心地位。“ln”作为符号，最早出现在18世纪的数学文献中，用以区别于常用对数。其“自然”之名，源于e在自然界中的普遍性：从人口增长、放射性衰变到金融复利，许多自然过程都遵循指数规律，而ln正是描述这些过程的数学工具。数学特性与核心地位自然对数ln之所以“自然”，在于其在微积分中的独特性质：ln(x) 的导数为 1\/x，这是所有对数函数中唯一具有如此简洁导数的形式。

四、指数函数 e^x 是其自身导数，与ln(x)互为反函数，构成微分方程求解的基础。ln(x) 的积分形式 ∫(1\/x)dx = ln|x| c，是基本积分公式之一。此外，ln在泰勒级数、复变函数、概率论等领域中也扮演着关键角色。例如，正态分布的概率密度函数中包含ln，最大似然估计也常通过对ln似然函数求导来求解参数。