三次方根：从一至八百万 第17章 lg的历史与ln的历史

lg的历史与ln的历史对数是数学史上一项划时代的发明，它不仅极大简化，复杂的乘除运算，更成为天文学、航海学、工程学和微积分发展的关键工具。在众多对数体系中，以10为底的常用对数（记作lg）和以自然常数e为底的自然对数（记作ln）最为重要。它们虽同源而生，却在历史演进中走上了不同的发展道路：一个走向实用与普及，另一个则深入理论与分析。以下将从历史脉络、人物贡献、理论深化与应用拓展等方面，系统阐述lg与ln的发展历程。

一、对数的诞生：从纳皮尔到比尔吉对数的概念最早可追溯至16世纪末。德国数学家迈克尔·施蒂费尔（michael Stifel）在1544年出版的《整数算术》中，已提出等差数列与等比数列之间的对应关系，这被视为对数思想的雏形。他意识到，等比数列中的乘除运算可转化为等差数列中的加减运算，但当时并未形成系统的数学工具。真正将这一思想发展为实用计算方法的是苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）。1614年，他在《奇妙的对数定律说明书》（mirifici Logarithmorum canonis descriptio）中首次提出“对数”概念。纳皮尔的初衷是简化天文学中繁复的球面三角计算。他所定义的“纳皮尔对数”并非现代意义上的对数，其计算方式基于几何运动模型，底数接近1\/e，但其数值与自然对数存在密切关联。尽管形式不同，纳皮尔的工作为对数体系奠定了理论基础。几乎与此同时，瑞士钟表匠兼数学家约斯特·比尔吉（Jost burgi）也独立发展出类似的对数系统。他在1620年出版的《等差数列和等比数列表》中，编制了以接近e的数为底的对数表。比尔吉采用的是1.0001^10?作为近似底数，其计算方式更接近现代指数思想。虽然他的工作发表较晚，但研究时间早于纳皮尔，被视为自然对数的原始形态之一。

二、常用对数lg的诞生与标准化：布里格斯的贡献纳皮尔的对数虽然革命性，但其底数不便于实际计算。英国数学家亨利·布里格斯（henry briggs）认识到这一局限，主动与纳皮尔通信，并提出改进建议：采用以10为底的对数系统，即常用对数（lg）。这一建议被纳皮尔接受，两人合作推动了对数的实用化。1624年，布里格斯出版了《对数算术》（Arithmetica Logarithmica），其中包含了1至以及至的14位精度常用对数表。这是历史上第一本高精度、系统化的以10为底的对数表，标志着lg体系的正式确立。布里格斯的对数表迅速被天文学家、航海家和工程师采用，成为科学计算的标准工具。布里格斯的贡献不仅在于编制数值表，更在于他推动了对数的标准化与普及化。他将对数从一种抽象的数学概念转化为实用的计算技术，使复杂运算得以在没有计算机的时代高效完成。此后两个多世纪，对数表成为科学家和工程师案头必备的工具书，而“lg”也成为科学记数法和工程计算中的核心符号。

三、自然对数ln的理论深化：从欧拉到微积分与lg的实用导向不同，自然对数ln的发展更多源于理论数学的内在需求。尽管比尔吉和纳皮尔的工作中已隐含ln的雏形，但其真正理论地位的确立，要归功于18世纪数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。欧拉在1728年前后系统研究了自然常数e，并将其定义为极限：

他证明了e是一个无理数，约等于2.，并指出以e为底的对数在微积分中具有特殊优势。例如，函数 ( f(x) = e^x ) 的导数仍为自身，而自然对数函数 ( \\ln x ) 的导数为 ( 1\/x )，这使得ln在积分、微分方程和复变函数中成为不可或缺的工具。欧拉还将ln与三角函数、指数函数通过欧拉公式联系起来：

这一公式不仅统一了数学中的多个分支，也使ln在复数域中获得深刻意义。自此，ln不再仅是一种计算技巧，而成为分析学的核心概念。

四、lg与ln的交汇：换底公式与数学统一尽管lg与ln起源于不同的应用场景，但数学家很快发现它们之间存在内在联系。换底公式的建立，使不同底数的对数可以相互转换：

其中，(\\ln 10 \\approx 2.3026) 是一个关键转换常数。这一公式不仅方便了实际计算，更揭示了对数函数的普适性：无论底数如何，所有对数函数在本质上是线性相关的。这为后来的抽象代数和函数理论提供了重要启示。

五、学术价值的分化与融合从17世纪到19世纪，lg与ln在应用领域逐渐分化：lg 主导了工程、物理和实验科学。由于人类采用十进制计数系统，lg在科学记数法、分贝计算、ph值、地震等级等方面广泛应用。例如，ph值定义为 ( \\text{ph} = -\\lg[h^ ] )，即氢离子浓度的负常用对数。ln 则成为理论物理、概率统计、微分方程和经济学中的标准工具。例如，在连续复利计算中，公式 ( A = pe^{rt} ) 直接依赖于自然指数；在统计学中，对数正态分布、最大似然估计等均以ln为基础。随着数学的发展，二者界限逐渐模糊。在现代数学中，ln视为“自然”的选择。