镇国学神：从数学开始无敌 第26章 无解之题？两种答案！

完成了第一道大题，许燃没有半分停留。

他就像一台冷酷的解题机器，目光平静地移向了试卷的下一部分。

第二题，一道复杂的数论题，涉及同余方程组和二次剩余。

常规解法，需要用到繁琐的中国剩余定理，并且要分十几种情况进行讨论。

许燃的解法？

他在草稿纸上引入了“p-adic数”的概念，将问题转化到p-adic数域中，利用亨泽尔引理，一步就得到了通解。

过程，三行。

第三题，一道极其刁钻的代数不等式证明。

出题老师的本意，是考察学生对柯西不等式、排序不等式等多个知识点的综合运用能力。

许燃却直接在卷子上写下“设f(x)为……构造拉格朗日函数L(x，λ)……”

他竟然直接用上了大学“分析数学”里才会学到的“拉格朗-日乘数法”，将一个不等式极值问题，转化为了一个多元函数求偏导的简单计算。

过程，五行。

考场内，大部分学生还在为第一题抓耳挠腮。

除了许燃，大家觉得都很忙，却没得出有把握的结果，不知道在忙啥！

李星宇刚刚满头大汗地完成了第一题的计算，正准备松口气时——

许燃，已经兵不血刃地杀到了最后一题。

【第四题（解答题，40分）：】

【是否存在一个n ＞ 2024的整数，使得我们可以将一个n×n的棋盘用1×4的多米诺骨牌完全覆盖？若存在，请给出一个构造性的例子；若不存在，请证明。】

当许燃看到这道题时，连他自己都微微挑了下眉。

“有意思。”

这是一道组合几何与数论的交叉问题，也是这张试卷里，真正的“陷阱之王”。

它的难度，不在于计算，而在于思维的跃迁。

因为，它的标准答案，是——不存在。

这道题的设计，就是为了坑杀那些思维固化，只会埋头构造的“刷题家”。

很多学生面对这种是否存在的问题，就已经思维固化认定肯定存在！

在错误的方向下了苦力，不可能得到正确的结果！

你需要跳出构造的思维定式，转而用“染色法”来证明其“不可能性”。

这才是出题人想要看到的“天才的火花”。

显然这种题就是筛选做题家和天才的！

然而，许燃的思维，再次跳出了出题人的预设。

“染色法么……可以，很标准，但不够漂亮。”

他嘴角微扬，提笔在答题纸上飞快地书写起来。

【解法一：染色证明】

【我们将n×n的棋盘用四种颜色{1， 2， 3， 4}进行染色。令坐标为(i， j)的格子的颜色为(i 2) 2(j 2) 1。即交替染成：】

【1 3 1 3 ...】

【2 4 2 4 ...】

【1 3 1 3 ...】

【2 4 2 4 ...】

【可以发现，任何一个1×4的骨牌，无论横放还是竖放，都必然会恰好覆盖四种颜色各一个。】

【因此，若要完全覆盖，则棋盘中四种颜色的格子数量必须相等。】

【但当n为奇数时，四种颜色的格子数不可能完全相等。】

【当n为偶数时……】

许燃的笔速极快，只用了不到二十分钟，就将一个完美无瑕、逻辑严谨的染色法证明，写满了半张答题纸。

这个答案，足以让他拿下满分。

但他停下了笔，看了一眼自己写下的证明，轻轻摇了摇头。

“太普通了。”

他拿起一张新的答题纸，在上面写下了三个大字——【解法二】。

这一次，他的思路，天马行空，完全脱离了高中竞赛的范畴。

【解法二：代数赋值法】

【我们将复数域引入棋盘。令坐标为(i， j)的格子的权值为w^(i 2j)，其中w=e^(iπ/2)=i，为四次单位根。】

【那么，整个棋盘所有格子权值的总和S =Σ w^(i 2j)(1≤ i， j≤ n)。】

【这是一个可以利用等比数列求和公式计算的几何级数……】

【经过计算，当且仅当n是4的倍数时，S = 0。】

【而任何一个1×4的骨牌，其覆盖的四个格子的权值之和，恒为0。】

【因此，若要用1×4骨牌完全覆盖棋盘，其充要条件是整个棋盘的权值总和S=0。】

【所以，只有当n是4的倍数时，才可能被完全覆盖。】

写完这个证明，许燃才满意地点了点头。

这个解法，用代数的方法，将一个看似纯粹的组合问题，转化得干净利落。

其背后蕴含的，是“群表示论”的思想萌芽。

这种解法如果出现在大学的组合数学课堂上，都会被教授大加赞赏。

而现在，它出现在了一张高中生的竞赛答卷上。

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