数学纪闻录 第79章 悖论

2038. 超空间这一伟大概括，使得用简洁、形象、富有艺术性且引人入胜的几何语言来丰富、活跃和美化分析成为可能。另一方面，超空间本身就是极其有趣且取之不尽的研究领域。几何学家不仅能从超空间中找到启发，去揭示普通直观空间中那些原本未知的、隐秘的性质，还能在其中发现普通空间里全然不存在的奇妙结构……正是通过创造超空间，理性精神得以摆脱束缚。在超空间里，理性精神永远快乐地存在着，被一种无尽的自由感所支撑。——凯泽，C.J.

出自《数学的解放》；《一元论者》，第16卷（1906），第83页。

超空间之伟大概括，能以几何之简、形、雅、趣之语，丰、活、美分析之学。且超空间自身，亦为极有趣味、探之不尽之研究场。几何学者不仅能于其中得启示，以明寻常直观空间中未知之隐质，更能发现寻常空间所无之奇构……盖创超空间，理性得脱束缚。于其间，理性常乐，得无限自由之感所养。——凯泽·C.J.《数学解放论》；《一元论者》第十六卷（1906），八十三页。

2039. 那些长期致力于四维空间形式理论研究的数学家，似乎逐渐具备了轻松想象这种形式的能力，就像我们所有人都熟悉三维形式一样。——奥斯特瓦尔德，W.出自《自然哲学》[塞尔策译]（纽约，1910），第77页。

久研四维空间形式之数学家，似渐能轻松构想其形，一如众人熟三维之形也。——奥斯特瓦尔德·W.

《自然哲学》[塞尔策译]（纽约，1910），七十七页。

2040.福克斯：那我到底该学些什么呢？

梅菲斯特：你可以试试学“解析几何”。

在解析几何里，空间会被好好规范，

用坐标紧紧约束，

这样你就不会靠运气，

随便从图形里得到点什么。

接下来，你会花好几天时间学习，

那些你原本能在空间里自由构建出来的东西，

其实需要一个方程才行。

为了提升人类，

三维空间的直观认识是存在的，

让人们能看到周围发生的事，

并构建出各种图形——

可分析学家一登场，

就证明事情完全可以是另一种样子。

写在纸上的那些方程，

也应该能在空间里被看到；

要是构建不出来，

就得换种方式定义。

因为按照数字法则形成的东西，

也该在几何上让我们觉得愉悦。

所以，在那两个无限遥远的

虚点上，所有的圆

都必须完美地相交，

平行线也得相交，

而且在空间里，人们还能

感受到各种各样的曲率。

这些公式既真实又美妙，

为什么不能去解读它们呢？

各地的学生都在称赞，

直线居然变成了曲线。

几何学把这叫做“非欧几里得”，

自我调侃，却不知为何。

福克斯：我还是不太明白。

梅菲斯特：哲学家也会有同样的感觉。

不过要是你学会把一切简化，

并好好地进行变换，

直到公式失去意义，

那你就算学会用数学进行思辨了。

——拉斯维茨，库尔特

出自《浮士德悲剧（的）下一部分》；《数学与自然科学教育杂志》，第14卷（1888），第316页。

福克斯：吾究竟当学何者？

梅菲斯特：可试学“解析几何”。

解析几何中，空间皆循规矩，

以坐标约束，

使汝不致侥幸，

妄自从图形得些许。

继而，多日研学，

知昔日可于空间自由构建者，

实需方程辅助。

三维空间之直观，本为启迪人类，

使见周遭诸事，

并构诸形——

然分析家至，

则证其事另有所然。

纸上之方程，

亦当可见于空间；

若构之不得，

则另辟定义之途。

盖依数律而成者，

亦当于几何上悦人。

故于二无限远之虚点，

诸圆必完美相交，

平行线亦相交，

于空间中，人亦可感种种曲率。

公式既真且美，

何不可解？

四方学子皆赞，

直线竟成曲线。

几何名之“非欧几里得”，

自嘲而不知其故。

福克斯：吾仍未甚解。

梅菲斯特：哲学家亦然。

若汝学尽简化万物，

善为变换，

至公式失其义，

则可谓善用数学思辨矣。

——库尔特·拉斯维茨

《浮士德悲剧续篇》；《数理自然教育杂志》第十四卷（1888），三百一十六页。

第二十一章 悖论与奇谈

2101. 伪数学家对待数学的态度，就像猴子摆弄剃刀。那畜生看见主人刮胡子，自己也学着刮，可它根本不知道该以什么角度握剃刀，结果割破了自己的喉咙。可怜的畜生，再也没敢试第二次！但伪数学家却一直不停地做着这种事，还宣称自己已经“剃得干干净净”，反说世上其他人都“毛发浓密”。

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