数学纪闻录 第64章 一步一形，非一步一金

1816. 数学上的点，是艺术所能呈现的最不可分割且独一无二的东西。——多恩，约翰《书信集》，第21篇

数学之点，艺所能呈，至微至独者也。——多恩，约翰《书简》，二十一

1817. 毋庸置疑，从其完整性、一致性、无缺陷性，从其结构安排、循序渐进的特点，以及从其采用的最完整、最出色的论证思路被广泛接受来看，欧几里得的《几何原本》在所有人类成果中无疑处于顶尖地位。在任何科学领域、任何知识部门，都没有出现过类似这样的着作：两千多年来，它一直赢得人类的钦佩，而且在这期间，人们对它的改进几乎没什么头绪。——凯兰，p.

《论证数学原理讲义》（伦敦，1843年），第17页

欧几里得《原本》，其完备、统一、无疵，其结构、渐进之性，及其至善论证之法为世所共循，固居万作之冠，不待言也。无论何学、何知域，未有无类于此书者：两千余载，人皆叹服，其间欲加损益者，盖鲜矣。——凯兰，p.《论证数学原理讲义》（伦敦，1843年），十七页

1818. 对比欧几里得几何与算术、代数的学习成效，毫无疑问，欧几里得几何留下的印象最深刻、最有益处；事实上，可以说对于这类人（学生，其中大多数在数学天赋和能力上并不出众）所接受的整个训练而言，这构成了迄今为止最有价值的部分。——托德亨特，I.

《论初等几何；学科之争及其他论文》（伦敦，1873年），第167页

比之于算术、代数，欧氏之学所留印识，尤深且益着：实则可云，于诸生（多非素擅数学者）所受之训，此为最可贵者。——托德亨特，I.《初等几何论；学科之争及其他文》（伦敦，1873年），一百六十七页

1819. 在英国，人们学习的几何是欧几里得几何，我希望永远都不会是别的；原因是，关于欧几里得的着述太多了，而且几何学的所有难点都一致地被认为与它们在欧几里得着作中呈现的形式相关，所以研究这位作者的着作，比研究其他任何着作都更能帮助人们读懂大量有用的读物。——德·摩根，A.

《代数学基础》（伦敦，1837年），引言

英伦之习几何者，皆宗欧氏，余愿其永不改也；盖论欧氏之书众矣，凡几何之难，皆系于其在欧书中之形，故研其书，胜研他籍，可为博观之津梁也。——德·摩根，A.

《代数学原》（伦敦，1837年），序

1820. 这部着作（《欧几里得几何原本》）在近二十二个世纪里，一直是科学思维的鼓励者和指引者，而科学思维与人类从较糟糕状态迈向较美好状态的进步是一回事。说它是鼓励者，是因为它包含了一套真正为人所知且值得信赖的知识体系，而且这套知识体系在范围和应用上还在不断扩展。因为即便在这部着作成书之时——亚历山大博物馆建立后不久——数学就已不再仅仅是柏拉图学派那种纯理想的科学，而是已经开始了征服整个现象世界的征程。说它是指引者，是因为每一个研究任何学科的科学研究者，其目标都是要将自己对该学科的知识打造成与几何学所达到的完美程度相当的形式。在所有科学都希望攀登的真理大山之上，人们看到这门神圣学科中最领先的几何学在招手，呼唤其他学科跟上。因此，在毕达哥拉斯学派的用语中，几何学被称为“理性灵魂的净化者”。——克利福德，w. K.

《演讲与论文集》（伦敦，1901年），第1卷，第354页

是书（《欧几里得几何原本》）近二千二百年间，恒为科学思维之鼓舞与指引。科学思维者，人类自困而进于康庄之谓也。言其鼓舞，以其载确知可恃之学，且日扩其域、广其用也。盖此书成时——亚历山大博物院初立后不久——数学已非复柏拉图学派之纯理想学，而始征伐万象矣。言其指引，以凡治学者，皆欲使其所知，臻于几何之完美也。众学皆欲登真理之崇山，而见其首者几何，在彼招手，呼余者从之。故毕达哥拉斯学派谓之“理性灵魂之净化者”。——克利福德，w. K.

《讲演与文录》（伦敦，1901年），卷一，三百五十四页

1821. （欧几里得的《几何原本》）既是科学思维的灵感源泉，也是科学思维的追求目标。——克利福德，w. K.

《演讲与论文集》（伦敦，1901年），第1卷，第355页

（欧几里得原本）既为科学思维之灵感，亦为其所求也。——克利福德，w. K.

《讲演与文录》（伦敦，1901年），卷一，三百五十五页

1822. 这位伟大的亚历山大数学家的《几何原本》，永远是首部，而且可以斗胆说，是唯一一部在原理的逻辑精确性和定理的严谨推导方面堪称完美典范的着作。如果有人想知道，如何从极少数凭直觉感知到的公理、公设和简单定义出发，通过严谨的、甚至可以说是简洁的三段论（这种三段论从不借助任何偷偷摸摸的或外来的帮助），来构建并发展一门科学，乃至其最细微的细节，那么他就必须去研读欧几里得的《几何原本》。——汉克尔，h.

《近几个世纪数学的发展》（图宾根，1884年），第7页

此亚历山大学者之《原本》，千古以来，首出之作，且可谓唯一完美之范：其理之逻辑精审，其论之推演严谨。若欲知如何自少数直觉公理、公设、简定义，以严整三段论（从不假外助）构建一学，乃至纤悉，必观欧氏《原本》。——汉克尔，h.

《近世数学发展史》（图宾根，1884年），七页

1823. 如果我们认为他（欧几里得）想成为其注释者所认为的那种人，即最肆无忌惮的形式严谨性的典范，那么我们得承认，他并没有完全成功，尽管我们也承认他已经是最接近这一目标的人了。——德·摩根，A.

《史密斯希腊罗马传记与神话词典》（伦敦，1902年）；“欧几里得”词条

若谓其（欧几里得）欲如注家所云，为至严形式之典范，则虽未全至，然已近之，不可诬也。——德·摩根，A.

《史密斯希腊罗马人物志》（伦敦，1902年）；“欧几里得”条

1824. 欧几里得的《几何原本》在数学中所占的比重，就如同《伊利亚特》在文学中、菲迪亚斯的雕塑在世界艺术总量中所占的比重一样小。——凯泽，c. J.

《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第8页

欧几里得《原本》在数学中，犹《伊利亚特》于文学，菲迪亚斯之雕塑于天下艺术也，所占者微。——凯泽，c. J.

《科学、哲学与艺术讲录》（纽约，1908年），八页

1825. 我会很高兴看到……欧几里得被体面地束之高阁，或者被埋到“比铅锤所能探到的更深的地方”，让学童们够不着；把形态学引入代数基础；接受投影、关联和运动作为几何学的辅助手段；通过早期接触极性、连续性、无限性等主导思想，并熟悉虚数和不可想象之物的学说，来激发和提升学生的思维，唤醒他们的信念。——西尔维斯特，J. J.

《为数学家辩护》；《自然》，第1卷，第261页

余乐见……欧氏书被尊藏，或埋之“深逾铅锤所及”，使学童不得近；形态学入代数初阶；投影、关联、运动皆为几何之助；早启学子以极性、连续性、无限性之要旨，使习于虚与不可思之理，以振其神、升其志、醒其信。——西尔维斯特，J. J.

《为数学家辩》；《自然》，一卷，二百六十一页

1826. 早年学习欧几里得让我成了几何学的厌恶者……然而，尽管这种反感已经成了我的第二天性，但每当我深入研究任何数学问题时，最终总会发现自己触及到了几何学的根基。——西尔维斯特，J. J.

《为数学家辩护》；《自然》，第1卷，第262页

早年习欧氏几何，使余恶之……然纵此恶成习性，每当深究数学问题，终觉触几何之基。——西尔维斯特，J. J.

《为数学家辩》；《自然》，一卷，二百六十二页

1827. 牛顿在数学方面有着非凡的天赋，欧几里得的几何学在他看来似乎是“一本微不足道的书”，他很奇怪竟然有人会费心去证明那些他一眼就能看出是真理的命题。但是，当他试图阅读笛卡尔更深奥的几何学，却没有掌握这门科学的基础知识时，他遇到了困难，于是很高兴地又回到了欧几里得的着作上来。——帕顿，詹姆斯

《艾萨克·牛顿爵士》

牛顿有数学异才，视欧氏《几何》为“浅书”，怪他人之证自明之理。及其欲读笛卡尔之深几何，以未通其基，困顿而返，复研欧氏。——帕顿，詹姆斯《牛顿爵士传》

1828. 只要欧几里得的统治地位还在延续，改进的必要性就毋庸置疑。我认为有用的课程安排是：先从算术开始，然后不是欧几里得几何，而是代数。接下来，不是欧几里得几何，而是实用几何学，包括立体几何和平面几何；不是证明，而是去熟悉它。然后，不是欧几里得几何，而是初等向量，与代数结合起来，并应用于几何学。先学加法，再学标量积。初等微积分应该同时进行，过一段时间再融入向量代数几何中。欧几里得可以作为学者的额外课程，就像荷马一样。但让孩子们学欧几里得是很残忍的。——亥维赛，奥利弗

《电磁理论》（伦敦，1893年），第1卷，第148页

欧氏之学若存，改良之需不待言。余意善课者，先算术，次代数而非欧氏；再实用几何，兼立体、平面，不求证明，但求熟习；继以初等向量，合代数而用于几何，先加后标积。初等微积并行，稍后进向量代数几何。欧氏可作学者选修，如荷马。然令童子学欧氏，实为蛮举。——亥维赛，奥利弗

《电磁论》（伦敦，1893年），一卷，一百四十八页

1829. 几何学若不严谨则一文不值，如果轻视证明的严格性，这门学科的全部教育价值就会丧失。几乎所有人都认为，欧几里得的方法在严谨性方面是无可挑剔的。——史密斯，h. J. S.

《自然》，第8卷，第450页

几何不严谨则无物，轻证明之严，则其教益尽失。欧氏之法，几为世所共认，严谨无疵。——史密斯，h. J. S.

《自然》，八卷，四百五十页

1830. 通过诉诸观察来寻求几何命题的证明，实际上什么也证明不了，只能说明求助于这种依据的人对几何证明的本质没有恰当的理解。我们听说过有人通过测量来使自己确信关于直角三角形两边上的正方形的几何定理是正确的：但这些人是那些心思被实际习惯占据，空间概念的思辨发展被其他事务扼杀的人。——惠威尔，威廉

《归纳科学哲学》（伦敦，1858年），第一部分，第2卷，第1章，第4节

以观察证几何命题，实无所证，唯显其人不解几何证明之性。闻有人以度量信直角三角形边之正方形定理，此辈心为实务所役，空间之思辨为他事所窒也。——惠威尔，威廉

《归纳科学哲学》（伦敦，1858年），第一部分，二卷一章四节

1831. 没有人能像欧几里得那样给出如此简单自然的几何推论链条。其结论中存在着永不谬误的真理。——德·摩根，A.

《史密斯希腊罗马传记与神话词典》（伦敦，1902年）；“欧几里得”词条

几何推论之链，未有如欧氏之简易自然者。其结论之真，历久不谬。——德·摩根，A.

《史密斯希腊罗马人物志》（伦敦，1902年）；“欧几里得”条

1832. 毫无疑问，埃及几何学，尽管水平有限，却受到了早期希腊哲学家的热切研究，并且在他们手中成了一门宏伟科学的萌芽，每个英国人在正确观察和思考方面的启蒙教育都得益于这门科学。——高，詹姆斯

《希腊数学简史》（剑桥，1884年），第131页

埃及几何虽浅，然为希腊先哲所亟研，在其手中成宏大学问之萌芽。英人之启蒙观思，皆赖于此。——高，詹姆斯

《希腊数学简史》（剑桥，1884年），一百三十一页

1833. 一步一个图形，而非一步一个金币。——毕达哥拉斯兄弟会的座右铭

弗兰克land，w. b.：《欧几里得的故事》（伦敦，1902年），第33页

一步一形，非一步一金。——毕达哥拉斯兄弟会座右铭

弗兰克land，w. b.：《欧几里得传》（伦敦，1902年），三十三页

1834. 欧几里得第五卷中所阐述的比例学说，作为精确推理的杰作，或许至今仍无出其右；尽管旧几何学中所采用的表达方式晦涩难懂，导致这部分内容被完全排除在普通几何教育课程之外。一位热心的欧几里得辩护者可能会 诚实地补充说，数学初等教学中由此造成的空白从未得到充分填补。——史密斯，h. J. S.

《英国科学促进会主席致辞》（1873年）；《自然》，第8卷，第451页

欧氏第五卷之比例说，为精推之杰作，至今或无出其右。然旧几何表达方式之繁，致其被摒于常课。欧氏之热心辩护者或曰，数学初教之缺，终未得补。——史密斯，h. J. S.《英国科学促进会会长演说》（1873年）；《自然》，八卷，四百五十一页