三次方根：从一至八百万 第27章 lg的史书

在人类文明的漫长长河中，数字与计算始终是推动社会进步的核心力量。从结绳记事到量子计算，从泥板刻符到人工智能，数学作为“科学的皇后”，始终以其严谨与优雅，为人类揭示自然的奥秘。

而在数学的浩瀚星空中，对数（logarithm）无疑是一颗璀璨的星辰。其中，以10为底的对数，即常用对数（lg），更是以其简洁、实用与普适，深刻地影响了科学、工程、经济乃至人类思维方式的演进。

这是一部关于lg的史书，一部以数字为脉络、以思想为灵魂的文明史诗。

第一章：萌芽——计算的困境与智慧的曙光在16世纪以前，人类的计算手段极为原始。天文学家、航海家、商人需要进行大量复杂的乘除运算，而这些运算在没有现代工具的年代，耗时耗力且极易出错。

例如，计算行星轨道或航海路线时，涉及大数相乘，往往需要数日甚至数周的时间，且结果难以验证。正是在这样的背景下，苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）于1614年发表了《奇妙的对数法则说明书》（mirifici Logarithmorum canonis descriptio），首次提出“对数”概念。纳皮尔的初衷并非为了简化计算，而是为了解决球面三角学中的复杂问题。

他发现，通过将乘法转化为加法，可以极大提升计算效率。他创造的“对数”本质上是一种“比例数”，其核心思想是：若 a^x = N，则 x = log_a N。纳皮尔的对数并非以10为底，而是基于一个接近1\/e的复杂底数。但他的思想迅速传播，并被英国数学家亨利·布里格斯（henry briggs）所继承与发展。布里格斯意识到，若以10为底，对数将更便于实际应用，因为人类普遍采用十进制计数系统。

1617年，布里格斯出版了《对数算术》（Arithmetica Logarithmica），首次系统地给出了以10为底的对数表，即我们现在所称的“常用对数”或“lg”。

第二章：lg的崛起——科学革命的加速器17世纪是科学革命的黄金时代。伽利略、开普勒、牛顿等巨匠相继登场，而lg的出现，恰如一场及时雨，为科学计算提供了强大工具。开普勒在研究行星运动时，需要处理大量天文观测数据。他利用对数表将复杂的乘除运算简化为加减，从而更精确地验证了行星运动三大定律。

他曾感叹：“对数的发明，使天文学家的寿命延长了一倍。”牛顿在创立微积分时，也广泛使用对数。他对数函数的导数进行了深入研究，发现 d(log x)\/dx = 1\/x，这一结果成为微积分理论的重要基石。

此外，牛顿在《自然哲学的数学原理》中多次使用对数来处理天体引力计算。lg的普及，也催生了计算工具的革新。1620年，埃德蒙·甘特（Edmund Gunter）发明了对数尺，而威廉·奥特雷德（william oughtred）在此基础上发明了滑尺（slide rule）。

滑尺以lg刻度为基础，通过滑动尺片实现快速乘除、乘方、开方等运算，在接下来的三个多世纪中，成为工程师、科学家和航海家的必备工具，直至电子计算器的出现。

第三章：lg的扩张——工业与工程的基石进入18至19世纪，工业革命席卷全球。蒸汽机、铁路、电报、电话等新技术层出不穷，而lg在其中扮演了不可或缺的角色。在工程设计中，lg被用于计算应力、流量、功率等参数。例如，在流体力学中，达西-魏斯巴赫公式中的摩擦系数常通过lg图（莫迪图）查得；在电气工程中，分贝（db）作为信号强度的单位，其定义基于lg：db = 10 x lg(p1\/p0)。

这一单位至今仍广泛应用于通信、声学和电子领域。在测绘与地理学中，lg被用于地图投影和距离换算。墨卡托投影即利用对数函数将地球曲面展开为平面，使航海图上的恒向线成为直线，极大便利了远洋航行。此外，lg在天文学中继续发挥重要作用。恒星的亮度等级（星等）系统基于lg：每相差5个星等，亮度相差100倍，即星等差与亮度比的lg成正比。这一系统沿用至今。

第四章：lg的深化——数学与科学的内在语言20世纪，lg不再仅仅是计算工具，更成为科学理论的内在语言。在物理学中，lg出现在多个基本公式中。玻尔兹曼熵公式， S = k x lg w，将熵与微观状态数w联系起来，成为统计力学的基石。在化学中，ph值定义为氢离子浓度的负lg值：ph = -lg[h?]，这一概念彻底改变了酸碱理论。在信息论中，克劳德·香农（claude Shannon），其中以2为底的lg（即log?）用于衡量信息的不确定性。

尽管底数为2，但其数学本质与lg一脉相承。在地震学中，里氏震级（Richter scale）基于lg定义：震级m = lg A - lg A?，其中A为地震仪记录的最大振幅。每增加1级，能量约增加31.6倍（即10^1.5倍），这一非线性关系正是lg的体现。

第五章：lg的普及——教育与社会的变革随着现代教育体系的建立，lg成为中学数学课程的核心内容。

尽管20世纪70年代后，电子计算器逐渐取代了这些传统工具，但lg的数学思想——将复杂运算转化为简单运算——仍被保留在课程中。