镇国学神：从数学开始无敌 第51章 这不是“术”，这是“道”！

考场内，时间仿佛被一只无形的手按下了慢放键。

许燃的笔尖，如同在冰面上起舞的精灵，在雪白的卷纸上优雅地流淌。

他没有上来就写下一大串让人头皮发麻的复杂公式。

反而像一个最虔诚的初学者一样，开始一笔一划地，定义整个证明过程最基本的步骤。

【第一步：奠基。】

【当n=4时，一个K4图存在的概率为p^6。虽然在极限情况下，这个概率无限趋近于零，微不足道，但作为逻辑的起点，它依然成立。】

【第二步：归纳假设。】

【假设当图的顶点数为k (k≥4)时，该结论成立。即当p*k^(2/3)/(log k)^(1/3)→∞时，一个k阶随机图中，几乎必然存在K4。】

【第三步：递推证明。】

【现在，我们考虑一个有k 1个顶点的图 G_{k 1}。】

这一步，是所有数学归纳法的核心，是那道从有限通往无限的桥梁，也是最难的一步。

如何从“k”这个已知的世界，稳固地，递推到“k 1”这个未知的世界？

监控室里，所有专家教授都下意识地屏住了呼吸，一个个伸长了脖子，眼睛瞪得像铜铃。

他们绞尽脑汁，也想不出，该如何在一个充满“随机”和“概率”的框架下，去完成这个看似不可能的递推。

就在这时，只见许燃的笔，轻轻一转。

他根本没有去分析那个无比复杂的 G_{k 1}整体。

而是写下了石破天惊，足以让任何一个图论学者都大脑宕机的一行字。

【让我们换一个角度，不去考虑这个静态的 G_{k 1}。】

【我们来考察一个‘子过程’。】

【我们不将图一次性生成，而是想象成，逐个地，将顶点加入到图中。】

【当我们加入第k 1个顶点，命名为v时，我们来考察它与之前已经存在的k个顶点{v_1， v_2，...， v_k}之间的连接情况。】

“动态过程！他……他把一个静态的随机图问题，转化成了一个动态的随机过程！”

那位白发苍苍，在省数学会德高望重的老教授，再也控制不住情绪，“砰”的一声从椅子上站了起来。

他手指因为过度激动而剧烈颤抖，指着屏幕，嘴唇哆嗦着，好半天才挤出一句话。

“我的天……这个思路……这个思路太野了！太疯狂了！这简直是降维打击！”

另外一个教授扶了扶自己的眼镜，镜片下的双眼写满了震撼：

“这……这已经不是在解题了！这是在创造一种全新的思维范式！

他根本没打算在二维的棋盘上跟我们下棋，他直接把棋盘给掀了，自己重新画了一个三维的！”

“疯子！真是个疯子！我收回我刚才的话，他不是在胡闹，他是在……展现天赋！”

许燃的笔，还在不知疲倦地继续。

他引入了一个非常巧妙的辅助随机变量Y，这个Y代表的事件是：

新加入的顶点v，恰好与之前那个k阶图中一个“已经存在的K3子图”的所有顶点，都产生了连边。

然后，他用最基础的条件概率公式，轻松写出了Y存在的概率表达式。

紧接着，他做出了一个让监控室里所有人都眼珠子快掉出来的，神来之笔般的操作。

他没有继续深入地去计算这个概率。

而是直接在表达式的旁边，写下了另一个在数学界如雷贯耳，但简单到连高中生都会的名字。

【柯西-施瓦茨不等式。】

“什么？！”

“柯西-施瓦茨？

他写这个干什么？

这玩意儿不是高中竞赛最基础的不等式吗？用在这里？开什么玩笑！”

“等一下！不对！你们看他写的形式！”

一个年轻的博士生导师尖叫起来。

所有人的目光都死死钉在屏幕上。

许燃此刻信手拈来用出来的，根本不是他们常见的那种形式，而是一个极其精妙，几乎无人问津的，概率形式的变体！

他鬼斧神工般地，用这个最基础的不等式，将一个无比复杂的概率乘积问题，极其巧妙地，转化为了一个异常简单的概率求和问题！

“我的天啊……”

一位教授喃喃自语，“他甚至根本不需要知道那些精确的概率值到底是多少！”

“对！他只需要知道，它们的和，随着k的不断增大，是在变大还是在变小！”

“而那个阈值函数……”

所有人的脑海中，同时闪过了题目中给出的那个无比诡异的，如同天外飞仙般的阈值函数 p*n^(2/3)/(log n)^(1/3)→∞！

在这一刻，它终于露出了它的獠牙！

它不再是一个门槛，一个限制。

而是变成了一把钥匙！

一把，能解开终极奥秘的钥匙！

而这把钥匙，完美地，严丝合缝地，插入了由柯西-施瓦茨不等式所构造出的那把“锁”里。

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