镇国学神：从数学开始无敌 第44章 于星辰中铸剑！

时间，在笔尖与纸张的摩擦声中，悄然流逝。

图书馆的角落，仿佛变成了一个与世隔绝的领域，一个只属于许燃和简瑶的【思维殿堂】。

“所以，我们的图G，顶点集是PG(2，5)的31个点。

两个顶点相邻，当且仅当它们在PG(2，5)中‘不共线’。”

许燃迅速地做出了总结，思路清晰。

“接下来，我们要验证两个关键性质。”

他看向简瑶，“第一，这个图G中，是否存在一个K5子图，也就是‘5个顶点互相相邻’的团？”

这个问题，如果用暴力去验证，对于一个31阶的图来说，无异于大海捞针。

但现在，有了代数和几何的武器，一切都变得不同。

简瑶的心思已经完全沉浸了进去。

她那天才的大脑在许燃的引导下，爆发出惊人的能量。

“等一下！”

她突然伸出手指，点在“不共线”三个字上，美眸中闪烁着激动的光芒，“如果五个顶点A，B，C，D，E构成一个K5子图，就意味着它们两两之间都‘不共线’。”

“但是！”

她的语速开始加快，“在射影平面PG(2，-，5)中，任意两个点（比如A和B）都确定一条唯一的线L_AB。那么，第三个点C，它既不能在L_AB上，也不能在L_AC上，也不能在L_AD上……”

她说到这里，突然卡住了。思路似乎走进了一条死胡同。

许燃没有直接给她答案，而是换了一种问法，像一个循循善诱的导师。

“换个角度想。我们来证明它的逆否命题。如果我们任意取出五个点，能不能证明，它们之中，必有两点是‘共线’的？”

这个问题像一把钥匙，瞬间捅破了那层窗户纸！

“我明白了！”简瑶的呼吸变得急促，“我们任取五个点A，B，C，D，E。先看A，B，C三点。如果它们共线，那结论就成立了，我们找到了‘共线’的两个点（甚至三个）。”

“那如果它们不共线呢？”许燃追问。

“如果A，B，C不共线，那么它们就能确定三条不同的直线L_AB， L_AC， L_BC。

这三条直线，在PG(2，5)中……”

简瑶一边说，一边快速地在纸上画着示意图，“……会交于A，B，C三个点。”

“现在，我们放入第四个点D。

如果D在这三条线中的任意一条上，比如在L_AB上，那么A，B，D就共线，结论成立。”

“如果D不在这三条线的任何一条上呢？”许燃的声音带着一种引人入胜的魔力。

“那么……D和A，B，C三点，就能确定三条新的线L_AD， L_BD， L_CD。

现在我们一共有六条线了！”

简瑶感觉自己的大脑在高速燃烧，“这六条线，最多会产生C(6，2)=15个交点，但很多是重合的……

不对不对，这个思路太复杂了！”

她有些懊恼地抓了抓头发。

许燃只是安静地看着她，没有打断。他知道，这是天才在突破自我时，必经的“阵痛”。

过了足足一分钟，简瑶的眼睛，猛地亮了起来！

“是‘鸽巢原理’！”

她激动地喊了出来，声音都有些发颤，“在PG(2，5)里，每一条线上，有q 1=6个点！而任何一个点，都恰好在q 1=6条线上！”

“我们来看点D！”

她指着草稿纸，“通过点D，可以画出6条不同的直线！

这6条直线，要把除了D以外的所有点都覆盖掉。”

“而我们还剩下A，B，C，E四个点！不对……思路又乱了！”

看着简瑶陷入苦战，许燃终于决定，轻轻地推她一把。

“不要去数线的数量。”

他轻声说，“回到最基础的性质，两点确定一条直线。”

“我们有A，B，C，D四个点，假设它们之中任意三点都不共线。

它们能确定C(4，2)=6条不同的直线。”

“现在，我们放入第五个点，E。”

“E点，它有多少种可能的位置？”

“如果E落在这六条直线中的任何一条上，比如L_AB，那么E，A，B就共线了，证毕。”

“如果E不落在这六条直线的任何一条上呢？这可能吗？”

许燃问出了最后一个，也是最关键的问题。

简瑶的大脑，如同被一道闪电劈中！

“不可能！”

她失声喊道，“PG(2，5)中，任何一个点都必须在6条线上！

如果E不在这六条线中的任何一条上，那么过E和A的直线L_EA，就是一条新的线。

过E和B的直线L_EB，也是一条新的线……

这……这就和‘两点确定唯一一条直线’的公理矛盾了！”

她激动得脸颊通红，指着自己的推导，像个得到了糖果的孩子。

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