灵根太多了 第1章 番外：奇奇怪怪的解题方法

关于那个问题：

假设小镇中现在有100人，且这一代人都可以两两配对形成50对夫妻，算上生产力地下等因素，古代盛世孩子的存活概率大概是50%，假设每对夫妻可以生0~8个孩子。然后，假设天资卓越可以成为仙人的概率是0.2%，仙人可以永远存活下去，且因为仙人生命周期极其漫长，所以其生的一两个孩子可以忽略不计，问，经过漫长的时间，是否有一天，活着的人中全部都是仙人？

让我们先定义一个模型。

假设o-t代表第t代的普通人口数量。第t代的所有普通人都会配对形成o-t\/2对夫妻。

这里，o-t可能是奇数，也可能偶数，是奇数的时候会导致有人无法配对，所以这里，我们直接假设o-t总是偶数。

每对夫妻生小孩，令b为每对夫妻的存活小孩数量，首先，我们假设b是常数。

那么，第t代夫妻所生的存活小孩数量总数为：

(o-t\/2）*b

每个小孩成为仙人的概率为：p=0.002，因此，成为仙人的小孩数量为：[（o-t\/2）*b]*p

成为普通小孩的数量为：[（o-t\/2）*b]*（1-p）。

第t代普通人在生育之后死亡，因此第t 1代的普通人口数量等于第t代夫妻所生小孩中称为普通人的数量。也就是：o-t 1=[（o-t\/2）*b]*（1-p）

而与此同时，仙人的数量会增加，令p-t为第t代开始时仙人的数量。仙人不会死亡，且生育的小孩不计，因此p-t为递增函数，第t代中称为仙人的小孩数量会加入到仙人群体，所以：

p-t 1=p-t [（o-t\/2）*b]*p

根据初始条件，第零代：p-0=0,o-0=100

不难看出，当o-t=0的时候，普通人数量为零，存活的所有人都是仙人。

根据o-t 1的公式：o-t 1=[（o-t\/2）*b]*（1-p）

可以看出，这是一个线性递推的关系。

令r=[b*（1-p）]\/2

那么，o-t 1=r*o-t

所以，o-t-t 1=r*o-t-t

即：o-1=o-0*r

推得：o-t=o-0*r^t

不难看出，当r＞1时，o-t会增长，仙人数量会增加，但普通人的数量也会增加，普通人口数量不会变为零。

当r=1时，o-t保持恒定。

当r＜1时，当t→∞时，o-t→0.

在我们的假设情况中，r=[b*（1-p）]\/2

p=0.002,所以1-p=0.998

b为每对夫妻的存活子女数。

根据题目，夫妻可能会生0~8个孩子，存活率为50%，则存活0~4个。

取其平均数2，假设平均每个夫妻有两个存活子女，那么当b=2时，r=[2*0.998]\/2=0.998＜1,所以o-t会减少至0

当然，众所周知，人没有一半的，也不能够自我繁殖，所以，当o-t=1的时候，我们便可以认为存活的人中全部都是仙人。

借助函数计算器可得，o-t=o-0*r^t=100*0.998^t,当t=2300时，o-t=1.00056。

得出结论，阿木要等待2300代才可以实现全员仙人化。

按照古人的平均寿命35岁左右来算的话，阿木需要等2300*35=年才能够等到梦想实现的那一天。

八万多年。

将近三千万天。

而且，这还是最最理想的情况，因为天资卓越之人出现的概率要远远小于0.002。感觉说万里挑一都有些少了。

实际的时间可能远比这要多。

但，从理论上讲，这并非没法实现，不是吗？