三次方根：从一至八百万 第51章 关于lg86、lg87、lg88、lg89的探讨

一、对数的概述

1.1 对数的定义

对数是一种数学函数，若$a^b=n（a＞0且a≠1）$，则数$x$叫做以$a$为底$n$的对数，记作$x=\\log_{a}n$。

1.2 对数的重要性

对数在数学、科学和工程领域应用广泛。在数学中，可简化复杂数学运算；科学上，能帮助分析数据变化趋势；工程里，便于处理大量测量数据，极大提高工作效率与准确性。

二、以10为底的对数

2.1 常用对数的概念

以10为底的对数被称为常用对数，记作lgN。在数学中，若10的x次方等于N（x＞0），则x就是以10为底N的对数。

这种对数在日常生活和科学研究中极为常见，比如在测量地震级别、声音响度等方面，都有着广泛的应用，是简化计算、分析数据的重要工具。

2.2 常用对数的计算方法

计算以10为底的对数有多种方法。在有计算器或相关数学软件的情况下，输入底数10和对数真数N，即可直接得出结果。

若没有这些工具，在过去人们会使用对数表，通过查找行与列的交叉点来获取近似值。还可通过数学公式，如利用自然对数换底公式，结合已知的自然对数值来计算。

2.3 常用对数的性质

常用对数有着独特的性质。从运算法则看，lgmN=lgm lgN，lg(m\/N)=lgm-lgN，lgm^n=nlgm。其图像过点（1,0），且在（0, ∞）上单调递增。

当真数大于1时，对数为正；小于1时，对数为负。这些性质使得常用对数在解决实际问题时，能更好地帮助人们理解和处理数据。

三、lg86、lg87、lg88、lg89的具体数值

3.1 数值计算

利用计算器可轻松得出lg86≈1.9344，lg87≈1.9398，lg88≈1.9459，lg89≈1.9523。若无计算器，借助换底公式和对数表也可计算。

以换底公式为例，已知ln86≈4.4543，ln87≈4.4658，ln88≈4.4772，ln89≈4.4887，则lg86≈4.4543\/ln10≈1.9344，同理可求lg87、lg88、lg89的近似值。

3.2 数值意义

这些数值在多个领域有广泛应用。在天文学中，恒星亮度常用对数表示，lg86、lg87、lg88、lg89可帮助科学家分析恒星亮度变化。金融领域，股票价格波动也常以对数形式记录，这些对数值能反映股票价格的相对变化。

在生物研究里，种群增长速率有时用对数表示，通过这些数值可研究种群数量随时间的变化规律，助力生物学家进行生态分析。

四、对数的应用领域

4.1 金融和经济学应用

在金融领域，对数应用广泛。对数收益率能更直观反映资产价格变化，将百分比收益率转化为加法运算，简化计算与分析。

复利增长下，对数可将指数增长转化为线性增长，方便预测与比较不同投资产品的长期收益，为金融决策提供有力依据。

4.2 生物学和医学应用

生物学和医学中，对数不可或缺。在微生物生长模型中，对数能准确描述微生物数量随时间的变化规律，帮助科研人员掌握生长周期。

药物代谢动力学里，利用对数分析药物浓度变化，确定药物的半衰期、吸收速率等关键参数，为药物研发与临床应用提供重要数据支持。

4.3 物理学和天文学应用

物理学中，声学用对数定义分贝单位，表示声音强度，使声音大小的描述更科学合理。

天文学里，星等与对数紧密相关，星等越小亮度越高，这种对数标度能准确衡量恒星亮度差异，方便天文学家研究恒星性质与宇宙演化。

4.4 工程计算应用

在工程计算中，lg86、lg87、lg88、lg89有诸多应用。如在信号处理中，可借助这些数值进行频率响应分析，通过计算20log|h(jw)|得到频率响应的分贝值，判断信号在不同频率下的放大或衰减情况，为滤波器设计等提供关键数据，助力工程项目的顺利进行。

五、对数函数图像

5.1 图像绘制方法

在Excel中，可先输入一系列以10为底的对数真数，再利用“LoG10”函数计算对应对数值，以真数为横坐标、对数值为纵坐标绘制散点图，然后添加趋势线得到图像。用matlab则可定义自变量范围和对数函数表达式，利用“plot”函数直接绘制。

5.2 图像特点分析

以10为底的对数函数图像定义域为（0，正无穷），值域是R。

图像过点（1,0），且在（0,正无穷）上单调递增。当x＞1时，图像位于x轴上方；当0＜x＜1时，图像位于x轴下方，整体呈下凹趋势。

六、总结

6.1 对数意义总结

对数作为一种数学概念，它是求幂的逆运算。这意味着，如果我们知道一个数的幂，通过对数运算，我们可以轻松地找到这个数本身。这种逆运算的特性使得对数在许多领域中都具有极其重要的意义。

在数学领域，对数的出现极大地简化了复杂的计算。例如，当我们需要计算非常大或非常小的数时，直接进行乘法或除法运算可能会非常困难。但是，通过使用对数，我们可以将这些运算转化为加法或减法，从而大大简化了计算过程。

在科学领域，对数也被广泛应用，例如ph值就是以对数形式表示的氢离子浓度。

通过使用对数，我们可以更方便地比较不同溶液的酸碱度。在物理学中，对数也被用于描述声音、光线等物理量的强度。