三次方根：从一至八百万 第53章 lg（以10为底）的发展史

一、对数概念的起源

1.1 约翰·纳皮尔发明对数的背景和动机16、17世纪之交，社会发展日新月异，天文学、航海学、工程学等领域迎来蓬勃发展，这使得数字计算的需求与日俱增。当时的天文学家为了绘制星图、预测天体运行，需要进行大量复杂的乘法、开方运算；航海家为了确定航向、位置，也面临着同样的计算难题。这些计算十分繁琐，耗费巨大精力，且极易出错，严重阻碍了科学探索的进程。正是在这样的背景下，苏格兰数学家约翰·纳皮尔为了简化天文学计算，于1614年发明了对数。他将乘法转化为加法，除法转化为减法，极大地提高了计算效率，为科学计算带来了革命性的变革。

1.2 纳皮尔的生平及对数学的贡献约翰·纳皮尔1550年出生于苏格兰爱丁堡附近的一个贵族家庭，自幼便展现出非凡的数学才能。他曾在欧洲多国游学，接触到当时最前沿的数学思想。回国后，他致力于数学研究，在天文学、球面三角学等领域都有深入研究。纳皮尔最伟大的贡献无疑是发明了对数，这一成就被誉为17世纪数学的三大成就之一。除了对数，他对数学还有诸多其他贡献，如在《奇妙的对数定律说明书》中，提出了纳皮尔数、纳皮尔算筹等概念，为数学计算提供了新的方法和工具，对后世数学发展产生了深远影响。

二、常用对数的形成

2.1 亨利·布里格斯改进对数的缘由纳皮尔发明的对数虽简化了计算，但其底数选择不便于实际应用。纳皮尔对数的底接近于1\/e，与人们习惯使用的十进制计数系统不符，在进行数值计算时仍需转换。亨利·布里格斯为了使对数更符合人们的使用习惯，更方便地应用于科学计算，决定对纳皮尔的对数进行改进，以10为底创造新的对数体系。

2.2 布里格斯计算以10为底对数的方法布里格斯计算以10为底的对数，首先确定10的幂与对应数值的关系。他从10^1=10开始，依次计算10的幂，将得到的数值与对应的指数建立联系。如10^2=100，其指数2即为100的对数。接着，他通过插值法来计算非10的整数幂对应的对数，利用已知的10的幂的对数值，推算出中间数值的对数。如此，逐步构建起完整的以10为底的对数表，为人们提供便捷的计算工具。

三、常用对数在数学分析中的作用

3.1 对微积分发展的促进在微积分的发展历程中，常用对数起到了重要的推动作用。一方面，常用对数函数作为基本初等函数之一，其导数和积分的计算相对简单，这为微积分的学习和研究提供了便利。例如，在求解某些复杂的函数导数时，可通过换元法将其转化为常用对数函数的形式，从而简化计算。另一方面，常用对数在微积分的实际应用中，如求解曲线积分、曲率等问题时，能将复杂的运算转化为简单的对数运算，使问题得以快速解决，为微积分在物理学、工程学等领域的应用奠定了基础。

3.2 在复分析中的应用在复分析领域，常用对数也有着独特的应用。复数域中的对数函数是指数函数的逆函数，其定义域为除0和无穷大的整个复平面，值域也为整个复平面。复对数具有多值性，可通过公式来计算，其中是复数的模，是复数的辐角。在研究复数的幂函数、对数函数的性质，以及复变函数的积分、级数等问题时，常用对数都是重要的工具，能帮助数学家深入探究复分析中的复杂问题，推动复分析理论的发展。

四、常用对数在科学和工程领域的应用

4.1 在测量学中的使用在测量学中，常用对数发挥着重要作用。它可用于处理测量中的大量数据，将复杂的乘除运算转化为加减运算，简化计算过程。比如在地形测量中，计算两点间的距离、高差等，通过常用对数可提高计算效率和准确性。在工程测量里，常用对数能辅助计算建筑物的尺寸、角度等参数，为工程设计、施工提供精确的数据支持，使测量工作更加便捷、高效。

4.2 在信号处理和通信领域的作用在信号处理和通信领域，常用对数至关重要。在信号处理中，常用对数可用于压缩信号的动态范围，将大范围的信号值映射到较小范围，便于处理和传输。比如在对数域星球图中，对信号进行对数变换，能更清晰地展现信号特征。在通信领域，常用对数用于计算信号的功率、增益等参数，如分贝就是以10为底的常用对数单位来表示功率比值，简化了通信系统设计和性能分析，有助于提升通信质量和系统稳定性。

五、常用对数对现代技术发展的影响

5.1 在计算机科学中的应用在计算机科学领域，常用对数应用广泛。在算法设计中，常用于优化搜索算法的时间复杂度，如在二叉搜索树中，通过常用对数确定树的高度，从而估算查找操作的次数。在数据处理方面，常用对数可压缩数据范围，便于数据存储和传输，如在对数域星球图中对信号进行对数变换。在计算机图形学中，常用对数用于计算三维图形的缩放、旋转等参数，使图形渲染更加高效、精准。

5.2 在金融和经济学中的作用在金融领域，常用对数可用于计算股票、债券等金融资产的收益率，通过将价格变化转化为对数形式，更准确地反映资产价值的变化趋势。在经济学中，双对数模型被广泛应用于实证研究，能有效使系数结果更具经济学意义，帮助经济学家更深入地探究经济现象和规律。